Toto území nedaleko Jaroměře bylo osídleno již v době kamenné (nedovrtaný mlat a 2 přelomené mlaty se odtud dostaly až do dvorního muzea ve Vídni), ale zdejší nálezy pocházejí zejména z mladších dob. Nedaleko obce se nachází návrší, které sice náleží katastrálně již do Habřiny, ale historicky je spojováno právě s Neznášovem. Lidově byla tato lokalita pojmenována jako „Na hradě“. Ve 14. století tu stával hrad Neznášov (prvním známým majitelem byl Herynk ze Semonic roku 1357), který byl roku 1586 zmíněn v urbáři smiřického panství jako pustý zámek Rotmberk (též Rotemberg či Rotenberg). Zde byly posbírány zejména středověké nálezy, ale Jan Kozák z Neznášova nalezl na svém poli několik kamenných sekyrek a v roce 1882 objevil kosterní hrob s bronzovým hrotem z kopí. Další takové návrší se nachází jižně odtud, říká se mu „Na vraždě“, případně pouze „Vražda“. I zde se nacházelo hradiště, neboť vedle části dochovaných valů byly při archeologickém výzkumu nalezeny zbytky po dřevěných objektech. V roce 1984 bylo v obci nalezeno pozdně halštatské sídliště, ale sám Neznášov byl poprvé zmíněn až roku 1371, kdy hrad i ves držel Ješek z Neznášova. V letech 1389-1393 je znám Majnuš z Neznášova. Bavor, Ješek i Majnuš z Neznášova pocházeli z vladyckého rodu Rodovských z Hustířan. Bavor z Neznášova měl založit a vystavět u Neznášova již zmíněný hrad Rotemberg. Neznášov byl v držení rodu Rodovských z Hustířan až do začátku 17. století, kdy se v roce 1618 dostal spolu se sousedním Rožnovem součástí smiřického panství, které tehdy náleželo Trčkům z Lípy. V té době zde existoval velký poplužní dvůr a trojice rybníků – Skořipka (30 kop), Dolení neznášský (30 kop) a Netušil (4 kopy). Roku 1651 nebylo v obci žádných katolíků a rychtářem byl kovář Matouš Vlášek. O 10 let později došlo k rozdělení smiřického panství a Neznášov s Rožnovem připadly pod Hořiněves, kterou získal František Ferdinand hrabě Gallas. Mezi 13. a 19. březněm 1775 přepadli smiřičtí buřiči mlatce v Neznášově a odehnali je od práce, přičemž jednoho měli smrtelně zranit. V roce 1835 získala obec svoji školu, která fungovala v různých pronajatých místnostech po celé obci. Teprve roku 1840 se usídlila v obecní pastoušce. Počátkem 30. let 19. století se rozhodla hořiněveská strana odtrhnout od černilovského evangelického sboru a zřídit vlastní kostel. 13. června 1837 byla konána ve smiřické vrchnostenské kanceláři komise, na níž byl vysloven nesouhlas s oddělením evangelíků z hořiněveské strany od Černilova, protože při Černilově by tak zůstalo pouze 117 rodin s 710 lidmi, kdežto k Neznášovu by náleželo 89 rodin se 479 lidmi. Věc tak musely řešit vyšší úřady. Mezitím se v Neznášově již svážel kámen na kostel. Vídeňská evangelická konsistoř chtěla povolit stavbu filiálního kostela v Neznášově, ale ne zřízení vlastního sboru. Nakonec rozhodl c. k. krajský úřad v Hradci Králové, který svým výnosem ze 30. června 1838 č. 5684 nepovolil zřízení samostatné evangelické církve v Neznášově. Neznášovští podali ještě jednou žádost o povolení církve ve své obci, a to při kanonické vizitaci v roce 1842 tehdejšímu superintendentu Kubešovi, ale tím tato věc skončila jednou provždy.
Roku 1849 se stal Neznášov samostatnou politickou obcí. Roku 1854 byla obec přiškolena do Habřiny, kde byla o rok později vybudována nová školní budova. 1. července 1866 ustupovalo přes obec rakouské vojsko, a to 8. a 4. sbor a dělostřelecká záloha. Téhož roku se dostal do dražby Kubanovský dvůr čp. 14, jehož odhad činil 16 648 zl. a 88 kr. V roce 1868 se hrálo první ochotnické divadlo v krčmě na Chrustavce. V dubnu 1872 se dopustil podvodu bývalý představený a rychtář Václav Šprinar, když padělal obecní listinu a opatřil ji starým razítkem, jež si vzal domů po ukončení svého mandátu. 10. dubna 1873 se sesul obecní dům, v jehož troskách byly nalezeny mrtvolky 2 dětí, přičemž bylo zjištěno, že jedno bylo zahrabáno asi před 2 lety a druhé nejspíše před rokem. 8. ledna 1896 šel 46letý mlynář František Hlavatý za tmy domů z Neznášova a při cestě upadl do potoka, v němž se utopil. Protože bylo jeho tělo přikryto vytrvalým sněžením, jeho mrtvola byla nalezena až po usilovném pátrání 20. ledna téhož roku. 31. července 1902 byla obec postižena velkým krupobitím a 7. srpna téhož roku větrnou smrští. 15. března 1903 byla založena Hospodářsko-čtenářská beseda. O rok později vznikla místní kampelička. Roku 1913 byla postavena obecní váha a došlo k ustavení družstva pro pojišťováni dobytka. Z front 1. světové války se nevrátili 3 místní muži.
V roce 1920 řádila v obci epidemie slintavky a kulhavky. 11. srpna 1920 byla založena organizace katolické mládeže. O 4 roky později zasáhla zdejší lesy katastrofa v podobě bekyně mnišky. Roku 1926 bylo založeno Družstvo pro rozvod elektrické energie, díky němuž byl zaveden do celé obce elektrický proud. Mimo zůstaly jen mlýn a hájovna. Tehdy vznikla též nová sociálně demokratická organizace, jejímž důvěrníkem se stal Josef Kaválek z čp. 43. V roce 1929 pomrzla většina zdejšího ovocného stromoví. O rok později byla štorcována cesta pod Chloumek, po níž chodívaly pohřební průvody na památný Chloumek. Roku 1933 byl vybudován nový hřbitov. V roce 1936 vznikl SDH. Roku 1937 byla provedena generální oprava obecního domku. Za německé okupace nesla obec pojmenování Nesnaschow. V roce 1951 bylo od obce odtrženo 7 domů, které byly připojeny k Rožnovu. V roce 1957 vzniklo JZD. Roku 1959 byla zahájena stavba družstevní stáje pro 96 kusů dojnic. V roce 1960 došlo ke sloučení obcí Rožnov a Neznášov. Následně došlo ke stejnému kroku u JZD Neznášov s JZD Rožnov, jež od roku 1961 působily pod názvem JZD Rožnov-Neznášov. V roce 1972 byla dokončena výstavba tělocvičny v akci Z. 12. listopadu 1980 byla uvedena do provozu rozvodna 400/110 kV, která vyšla na více než 200 milionů korun. V letech 1996-1997 došlo k plynofikaci obce. Roku 2011 byl vybudován vodovod. O rok později byla postavena autobusová čekárna. V letech 2014-2016 byla zřízena kanalizace Rožnov-Neznášov.
Ze zdejších pamětihodností stojí za zmínku: kamenný kříž, který byl vysvěcen holohlavským děkanem P. Aloisem Nývltem 28. září 1881; hřbitovní kříž z roku 1933; márnice a hřbitovní brána, jež byly naposled opraveny v roce 2012; památník svobody vybudovaný zdejší lesní správou v roce 1928, který byl dopněn dalšími dvěma letopočty – 1918 (vznik naší samostatnosti) a 1945 (opětovné získání samostatnosti). Nejvýznamnějším zdejším rodákem je učitel, publicista a šachista Jan Hostáň (23. srpna 1869 Neznášov - 28. září 1940 Praha-Spořilov). Z Neznášova však pocházeli též: učitel Josef Mrkos (* 11. listopadu 1863 Neznášov) a František Jakubský (20. listopadu 1918 Neznášov - 6. října 1965 Holohlavy), v letech 1953-1955 člen a předseda MNV města Úštěku a v letech 1957-1960 a 1964-1965 předseda MNV v Holohlavech. Pověst o již zmíněném hradu Rotemberku je zmíněna zde:
https://www.obecroznov.cz/obec-7/historie-obce/povest-o-rotemberku/.